线性代数：矩阵与变换

矩阵基础

一个 $m \times n$ 矩阵 $A$ 有 $m$ 行 $n$ 列：

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$

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矩阵乘法

若 $A$ 是 $m \times k$ 矩阵，$B$ 是 $k \times n$ 矩阵，则 $C = AB$ 是 $m \times n$ 矩阵：

$c_{ij} = \sum_{l=1}^{k} a_{il} b_{lj}$

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行列式

$2 \times 2$ 矩阵的行列式：

$\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

$3 \times 3$ 矩阵按第一行展开：

$\det(A) = a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} - a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix} + a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$

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特征值与特征向量

若存在非零向量 $\mathbf{v}$ 使得：

$A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$

则 $\lambda$ 为特征值，$\mathbf{v}$ 为对应的特征向量。

求特征值：解特征方程

$\det(A - \lambda I) = 0$

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矩阵的几何意义

$2 \times 2$ 矩阵代表平面线性变换：

变换类型	矩阵
旋转角 $\theta$	$\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}$
x 轴缩放 $k$ 倍	$\begin{pmatrix}k & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$
关于 x 轴翻转	$\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}$

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Manim 示例：矩阵变换可视化

from manim import *

class MatrixTransform(LinearTransformationScene):
    def __init__(self, **kwargs):
        super().__init__(
            show_basis_vectors=True,
            **kwargs
        )

    def construct(self):
        matrix = [[0, -1], [1, 0]]  # 旋转 90°
        label = MathTex(
            r"A = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}"
        ).to_corner(UL)
        self.add(label)
        self.apply_matrix(matrix)
        self.wait()