常微分方程与动态系统

🌊 微分方程描述"变化的规律"：知道当前状态和变化速率，预测未来。

常微分方程（ODE）基础

定义

含有未知函数 $y(t)$ 及其导数的方程：

$F(t,\ y,\ y',\ y'',\ \ldots,\ y^{(n)}) = 0$

• 阶数：最高导数的阶
• 线性：$y$ 及其导数均为一次项

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一阶 ODE

可分离变量

$\frac{dy}{dt} = f(t)\cdot g(y) \Rightarrow \int\frac{dy}{g(y)} = \int f(t)\,dt$

例：$y' = ky$（指数增长/衰减）$\Rightarrow y(t) = y_0 e^{kt}$

一阶线性方程

$y' + P(t)y = Q(t)$

积分因子法：$\mu(t) = e^{\int P(t)\,dt}$，两边乘以 $\mu$：

$[\mu y]' = \mu Q(t) \Rightarrow y = \frac{1}{\mu}\int \mu Q\,dt$

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二阶线性常系数 ODE

$ay'' + by' + cy = 0$

特征方程法

令 $y = e^{rt}$，代入得特征方程：$ar^2 + br + c = 0$

根的情况	通解
两个不同实根 $r_1, r_2$	$y = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}$
重根 $r$	$y = (C_1 + C_2 t)e^{rt}$
共轭复根 $\alpha \pm \beta i$	$y = e^{\alpha t}(C_1 \cos\beta t + C_2 \sin\beta t)$

例：简谐振动 $y'' + \omega^2 y = 0$：$r = \pm\omega i$，$y = A\cos(\omega t + \phi)$

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动态系统

状态空间表示

将高阶 ODE 转化为一阶系统：

$\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x},\quad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$

解：$\mathbf{x}(t) = e^{At}\mathbf{x}_0$

相图（Phase Portrait）

在状态空间 $(x_1, x_2)$ 中，每点的速度向量 $\dot{\mathbf{x}}$ 构成向量场，轨迹称为相轨迹。

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平衡点与稳定性

平衡点

$\dot{\mathbf{x}} = 0$ 的解，即 $A\mathbf{x}^* = \mathbf{0}$（线性系统中只有原点）。

Lyapunov 稳定性（线性系统）

平衡点的稳定性由矩阵 $A$ 的特征值实部决定：

所有特征值实部	稳定性	相图类型
$< 0$	渐近稳定	稳定焦点/节点
$> 0$（任一个）	不稳定	不稳定焦点/节点
$= 0$（纯虚）	中性稳定	中心（椭圆轨迹）
混合	鞍点	鞍点

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常见动态系统模型

捕食者-猎物（Lotka-Volterra）

$\dot{x} = \alpha x - \beta xy,\quad \dot{y} = \delta xy - \gamma y$

阻尼振子

$\ddot{x} + 2\zeta\omega_0 \dot{x} + \omega_0^2 x = 0$

• $\zeta < 1$：欠阻尼（振荡衰减）
• $\zeta = 1$：临界阻尼（最快无振荡收敛）
• $\zeta > 1$：过阻尼（缓慢衰减）

SIR 流行病模型

$\dot{S} = -\beta SI,\quad \dot{I} = \beta SI - \gamma I,\quad \dot{R} = \gamma I$

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Manim 可视化思路

• 相图动画：不同初始条件的轨迹，颜色标注速度大小
• 特征值与稳定性：改变特征值实部，实时切换相图类型
• 捕食者-猎物振荡：$x$-$y$ 平面的闭合轨迹
• 阻尼振子：不同 $\zeta$ 值下的位移-时间曲线对比