傅里叶级数实验

什么是傅里叶级数？

任何周期函数都可以分解为一系列正弦和余弦函数之和：

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \right]$

其中系数由以下积分确定：

$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(x)\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)dx$

$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(x)\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)dx$

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方波的傅里叶展开

方波（奇函数，周期 $2\pi$）的傅里叶级数：

$f(x) = \frac{4}{\pi}\sum_{n=1,3,5,\ldots}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n} = \frac{4}{\pi}\left(\sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \cdots\right)$

叠加的谐波越多，逼近方波越精确（Gibbs 现象：边缘处约有 9% 的超调）。

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复数形式

傅里叶级数的紧凑复数写法：

$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \, e^{i 2\pi n x / T}$

$c_n = \frac{1}{T}\int_0^T f(x)\, e^{-i 2\pi n x / T}\, dx$

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傅里叶变换（连续版本）

将周期延伸到无穷，得到傅里叶变换：

$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, e^{-i 2\pi \xi x}\, dx$

逆变换：

$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)\, e^{i 2\pi \xi x}\, d\xi$

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Manim 示例：方波的谐波叠加

from manim import *
import numpy as np

class FourierSquareWave(Scene):
    def construct(self):
        axes = Axes(x_range=[0, 4*PI, PI], y_range=[-1.5, 1.5])

        def square_approx(n_terms):
            def f(x):
                return sum(
                    (4 / (np.pi * k)) * np.sin(k * x)
                    for k in range(1, 2*n_terms, 2)
                )
            return f

        colors = [RED, ORANGE, YELLOW, GREEN, BLUE]
        for i, n in enumerate([1, 3, 5, 9, 19]):
            curve = axes.plot(square_approx(n), color=colors[i])
            label = Text(f"n={n}", font_size=24, color=colors[i])
            label.to_corner(UR).shift(DOWN * i * 0.4)
            self.play(Create(curve), Write(label), run_time=0.8)

        self.wait(2)